Фрактал можно назвать отдельной новой отраслью на стыке геометрии и искусства. И, скорее всего, именно поэтому люди относятся к фракталам исключительно как к занимательным и завораживающим картинкам. Их обычно используют в качестве фонового изображения на экране монитора или шаблонов для визиток и открыток. Но попробуем, хотя бы поверхностно, разобраться в том, что эти изображения собой представляют.
Начало развития новой геометрии
В своей работе «Фрактальная геометрия природы» Бенуа Мандельброт о фракталах сказал примерно следующее:
«Облака - это не сферы, горы - не шишки, береговые линии - не круги. Кора не гладкая - и молния точно не пробивается ...
Существование таких форм заставляет нас изучать то, что Евклид оставляет как бесформенное, ведёт нас к морфологии аморфных. Однако до сих пор математики избегали этой проблемы. Развивая теории, которые больше не связаны с видимыми вещами, они отошли от природы.
В ответ мы разработаем новую геометрию природы и продемонстрируем ее полезность в различных областях. Эта новая геометрия описывает многие из неправильных и фрагментированных форм вокруг нас с семейством фигур, которые мы будем называть фракталами».
Математический фон
Сейчас при помощи компьютерной техники можно создавать очень красивые геометрические конструкции из так называемых сложных чисел. Эти построения также называют фракталами. Сам процесс построения подобных фигур выполняется с использованием итерации:
- 1. Начинается всё с определённого числа, которое вводится в некую формулу.
- 2. На выходе получается результат, который обратно передаётся в ту же формулу.
- 3. После вычислений - новый результат.
- 4. И так далее, и так далее.
Для построения фракталов используют комплексные числа. И одно произведённое в результате вычислений такое число определяет значение экранного пикселя. Как следствие, от количества итераций зависит и качество получаемого фрактального изображения.
Свойства и применение
В большинстве случаев при упоминании слова «фрактал», в памяти всплывают представления о необычных картинах. Но что мы видим на самом деле? По сути, любой фрактал является довольно грубой фигурой, которая обладает двумя основными свойствами:
- 1. Большинство фракталов при увеличении практически не отличаются от начальной версии. Это свойство получило название самоподобия.
- 2. Фракталы наделены так называемыми фрактальными измерениями.
Несмотря на свою необычность, фракталы всё же является неотъемлемой частью классической геометрии. И использоваться может для точного моделирования физических структур: от листьев растений до галактик.
При детальном рассмотрении разных поверхностей, созданных природой, можно заметить, что они не гладки, и долгое время проводить измерения таких шероховатостей не представлялось возможным. Но открытие геометрии фракталов позволяет на уровне математических моделей проводить довольно точные исследования грубых неровностей, созданных природой.
Современная фрактальная геометрия уже стала неотъемлемой частью многих научных областей. Как пример можно привести астрофизику или биологию. Но в то же время она стала одним из популярных методов в компьютерной графике.
И хотя Мандельброт останется первооткрывателем фрактальной геометрии, нужно признать и то, что также его заслугой можно считать преодоление разрыва между миром искусства и математическими выкладками. Он смог практически объединить эти два, на первый взгляд разные, миры.
Вы должны войти, чтобы оставить комментарий.